Title: Lösung quadratischer Gleichungen, die in unterschiedlichen Darstellungsformen gegeben sind
Course: Selbstlernkurs: Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen > Section: Einführung in das Lösen quadratischer Gleichungen

Übertrage die unterschiedlichen Lösungswege in dein Heft!

1. Einfaches Quadrat

x² - d = 0

x² - 9 = 0   | +9

     x² = 9   | √

     |x| = 3   | Fallunterscheidung

     x_1 = +3

     x_2 = -3
Wir erinnern uns:

Dies ist die Gleichung einer Normalparabel, die um 9 Einheiten
auf der y-Achse nach unten verschoben wurde.
Die Schnittpunkte mit der x-Achse liegen bei -3 und +3.

Währe die Parabel nach oben verschoben worden,
gäbe es keine Scnittpunkte mit der x-Achse.
Es gäbe auch rechnerisch keine Lösung:

x² + d = 0

x² + 9 = 0   | -9

     x² = -9   | √

     |x| =$$ \sqrt{-\left(9\right)} $$

Da es keine Zahl gibt, die als Quadrat -9 ergibt,
gibt es auch keine Lösung für dieses Problem.

2. Fehlendes Absolutglied

x² + 7x = 0           | x ausklammern

x (x + 7) = 0        | Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird.

                                  also entweder ist x=0 oder (x+7)=0. Daraus folgt:

x_1 = 0

x_2 = -7

Es macht keinen Unterschied, ob Normalparabel, gestreckt oder gestaucht.

Hier eine Streckung von 2:

2x² + 7x = 0         | x ausklammern

2x (x + 3,5) = 0  | Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird.

                                  also entweder ist 2x=0 oder (x+3,5)=0. Daraus folgt:

x_1 = 0

x_2 = -3,5

3. Normalform

x² + 6x + 5 = 0

Lösung mittels quadratischer Ergänzung

x² + 6x +3² -9  + 5 = 0

(x + 3)² -4 = 0

(x + 3)² = 4          |Ö

|x + 3| = 2          | Fallunterscheidung:

 x_1+ 3 = +2 --> x_1 = -1

 x_2+ 3 = -2 --> x_2 = -5
Lösung mittels Lösungsformel

$$x_{1,2}=- \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^{2} -q}$$

p = 6  q = 5

$$x_{1,2}=- \3 \pm \sqrt{\left( 9 -5}$$

$$x_{1,2}=- \3 \pm \sqrt{4}$$

 x_1 = -1

 x_2 = -5

4. Die quadratische Gleichung ist in der allgemeinen Form gegeben

5x² -30x + 15 = 0               | :5         Überführung in eine Normalform

     x² - 6x + 3 = 0                Und jetzt weiter wie bei 3)