Title: Darstellungsformen quadratischer Funktionen
Course: Selbstlernkurs: Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen

Die Funktionsgleichung eine quadratischen Funktion kann in unterschiedliecher Weise geschrieben werden.
Jede dieser Darstellungsformen hat ihre Vorteile aber auch Nachteile. Deswegen ist häufig auch eine Umwandlung in die jeweils andere Darstellungsform notwendig.

Die Funktion y = (x - 2)² - 1 ist in der Scheitelpunktsform gegeben.
Scheitelpunktsform deswegen , weil aus ihr sofort die Scheitelpunktkoordinaten abgelesen werden können.
Wir können aber das Binom  (x - 2)² auch auflösen --> x² - 4x + 4 und mit dem Absolutwert -1 zusammenfassen:

aus y = (x - 2)² - 1 wird dann y = x² - 4x + 3  Dies wird normalform einer quadratischen Funktion genannt. Aus ihr können wir den Schnittpunkt mit der y-Achse direkt anlesen, denn für x=0 ergibt sich  y=3.

Betrachten wir nun die Funktion y = 2(x - 2)² - 1 .
Sie hat den gleichen Scheitelpunkt, ist aber zusätzlich gestreckt.
Für die Umwandlung muss beachtet werden, dass die Multiplikation mit 2 erst nach dem Auflösen des Binoms erfolgen darf! (s. eckige Klammern):

y = 2 [ (x - 2)² ] - 1
y = 2 [ x² - 4x + 4 ] - 1
y = 2x² - 8x + 8 - 1
y = 2x² - 8x + 7  Diese Darstellungsform wird
allgemeine Form einer quadratischen Gleichung genannt.
Auch hier ist ablesbar, dass die y-Achse bei +7 geschnitten wird.

Darstellungsformen

y = x² | Normalparabel
y = ( x - d)² + e | Scheitelpunktsform
y = x² + px + q | Normalform
y = ax² + bx + c | allgemeine Form

Die Umwandlung der Scheitelpunktsform in die Normalform bzw. die allgemeine Form ist oben bereits gezeigt worden.
für den umgekehrten Weg benötigen wir die quadratische Ergänzung.