Title: Lösung zur Optimierungsaufgabe
Course: Selbstlernkurs: Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen > Section: Anwendungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Lösungsansatz:

1. Formuliere Terme für Einnahmen, Kosten und Gewinn

Einnahmen:  60€·5000Abonenten
Kosten:         10€·5000Abonenten+20 000€
Gewinn:        Einnahmen - Kosten
                      60·5000 - 10·5000+20 000

2. Finde eine passende Darstellung für die Veränderung.

Veränderung: Kostensenkung um x Euro --> -x
                         mehr Abonenten  --> +x·200 = +200x

3. Formuliere jetzt die Terme unter Berücksichtigung der Veränderung

Einnahmen:  (60-x)·(5000+200x)
Kosten:         10·(5000+200x)+20 000
Gewinn:        Einnahmen               -           Kosten
                       (60-x)·(5000+200x) - 10·(5000+200x)+20 000
Die Kurve, die den Gewinn in Abhängigkeit von der Preissenkung beschreibt, lautet also

              y = G(x) = (60-x)·(5000+200x) - 10·(5000+200x)+20 000
Und davon wird das Maximum gesucht.

4. Forme den Term für den Gewinn in die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung um.
(Das Bild der Funktion wird eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel sein)

Durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt sich:
y = -200x² + 5000x + 230000

5. Da der Gewinn maximiert werden soll wird die x-Koordinate des Scheitelpunktes gesucht.
Das ist mit der Umwandlung in die Scheitelpunktsform möglich
y = -200 (x-12,5)² + 261250
oder mit der Bestimmung der Nullstellen.
Der x-Wert des Scheitelpunktes liegt dann genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen.
x_1=48,64;   x_2=-23,64 --> Die Mitte ist 12,5

6. Mit diesem Wert lassen sich dann die optimalen Abo-Preis bestimmen.
60€-12,5€=47,5€

Mit einem Abopreis von 47,50€ würde der Gewinn ein Maximum erreichen und 261 250€ betragen.