Title: Lösung zur Berechnung an Bauwerken
Course: Selbstlernkurs: Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen > Section: Anwendungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen

Unter einer Bahnlinie führt ein Tunnel hindurch. Dieser Tunnel hat im Querschnitt eine Parabelform.
Auf Straßenniveau ist der Tunnel 3,5m breit. Die maximale Höhe beträgt ebenfalls 3,5m.

Durch diesen Tunnel soll künftig der abgebildete Transporter fahren.
Er hat in 2,50m Höhe eine Breite von 1,80m.

Lösungsansatz:

1. Zur Berechnung der Breite in einer bestimmten Höhe ist die Kenntnis der Funktionsgleichung notwendig. Diese ergibt sich aus einer nach unten geöffneten und nach oben verschobenen Parabel. Die Größe der Stauchung/Streckung ist dabei noch unbekannt und muss mit den Nullstellen ermittelt werden. Eine zeichnerische Darstellung hilft bei den Überlegungen!

y = ax² + 3,5

Einsetzen der positiven Nullstelle:
0 = a*1,75² + 3,5
a = -3,5/1,75²
a = -1,143

Damit ergibt sich die Funktionsgleichung zu:
y = -1,143x² + 3,5

2. Die Breite in 2,50m Höhe erhalten wir durch Einsetzen dieser Größe als y-Wert. Damit lässt sich dann der dazugehörige y-Wert berechnen.

2,5 = -1,143x² + 3,5   | -3,5
  -1 = -1,143x²            | :(-1,143)
   x² = 1/1,143            | Wurzel
  |x|  = 0,935
x_1 = 0,935  x_2 = -0,935
Die Differenz beider Größen ist  1,87

Ergebnis:
In 2,50m Höhe hat der Tunnel eine Breite von 1,87m.
Der Transporter passt durch, aber er hat auf jeder Seite nur 3,5cm Platz.