Title: Einführung in das Lösen quadratischer Gleichungen
Course: Selbstlernkurs: Quadratische Funktionen, quadratische Gleichungen

Wiederholung aus Klasse 9

Wir kennen nun die quadratischen Funktionen. Aber wozu?
Du lernst nun, wie dir diese Kenntnisse helfen können, mathematische Probleme zu lösen.
Diese Lösungstrategieen lassen sich dann auch auf Alltagsprobleme anwenden.

Übernimm dieses Beispiel als Anleitung und Musterlösung ins Heft!

Gegeben sind die Funktionen f(x) = y = x² und g(x) = y = x + 2
Wie wir sehen, schneiden diese sich in den Punkten A und B.
Diesen Sachverhalt hatten wir schon bei zwei Geraden mit einem Schnittpunkt.
Damals haben wir das Problem gelöst, in dem wir uns gefragt haben: Für welche x-Werte sind die y-Werte gleich? Also haben wir die Funktionen gleich gesetzt.

Aus den Funktionen f(x) = g(x)
entsteht nun              x² = x + 2        - eine quadratische Gleichung.
Umformung:     x² - x - 2 = 0
Betrachten wir die dazugehörige quadratische Funktion:
       p(x) = y = x² - x - 2   in der Normalform
       p(x) = y =(x² - x + 0,5²) - 0,25 - 2
       p(x) = y = (x - 0,5)² - 2,25  in der Scheitelpunktsform

Durch Einzeichnen in das KS erkennen wir nun, dass die neue Funktion p(x) die x-Achse in den gleichen x-Werten schneidet, die auch die Schnittpunkte A und B zwischen Parabel und Gerade haben.

Diese x-Werte werden Nullstellen der Funktion genannt.

Nullstellen einer Funktion:
Als Nullstellen bezeichnet man diejenigen X-Werte einer Funktion, für die die Funktion den Wert y = 0 annimmt.
(Schnittwerte mit der x-Achse)

Damit wird die Berechnung der Schnittpunkte A und B zu einer Berechnung der Nullstellen von p(x)

und damit zu einer Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung.

Die Aufgabe besteht nun darin, die Nullstellen der Funktion p(x) = y = x² - x - 2 = (x - 0,5)² - 2,25 zu berechnen.

Für die Nullstellen gilt  y = 0
also        (x - 0,5)² - 2,25 = 0          | +2,25
              (x - 0,5)²          = 2,25      | √
              | x - 0,5 |         = 1,5      Ab hier muss eine Fallunterscheidung getroffen werden denn
                                                  (+1,5)² = 2,25 und (-1,5)² = 2,25
                                                 Also kann nach dem Radizieren auch entweder +1,5 oder-1,5 heraus kommen.
                                                 Das machen wir durch die Betragsstriche deutlich.
Fall I        x_1 - 0,5 = +1,5
                       x_1 = 2

Fall II        x_2 - 0,5 = -1,5
                       x_2 = -1

Die Nullstellen der Funktion sind also x_1 = 2 und x_2 = -1
oder als Lösungsmenge L={ -1; 2 }.

Zum Abschluss erfolgt die Berechnung der Schnittpunktkoordinaten.

Die machen wir durch Einsetzen der x-Werte in eine der beiden Funktionen f(x) oder g(x).

(I)      y_1 =  2²  = 4     -->    B ( 2 / 4 )
(II)     y_2 = (-1)²= 1     -->    A (-1 / 1 )   Die Zeichnung bestätigt uns die Richtigkeit unserer Rechnung!

Der Schlüssel liegt in der Lösung der quadratischen Gleichung, also der Nullstellenberechnung, für die es verschiedene Methoden gibt.