Einführung und Beispiel: Nullstellen

Nullstellen

Unter Nullstellen versteht man die x-Werte, die in eine Funktionsgleichung eingesetzt den y-Wert NULL liefern. Graphisch gesehen handelt es sich also um den Schnittpunkt (oder Berührpunkt) des Graphen mit der x-Achse.

Eine Nullstelle liegt also dann vor, wenn die Gleichung f(x) = 0 gilt.

Nullstellen linearer Funktionen

Lineare Funktionen haben exakt eine oder keine Nullstelle (konstante Funktionen mit der Steigung 0!).

Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu berechnen, setzt man die Funktionsgleichung f(x) = ax + b gleich Null und löst nach x auf.

Beispiel:
f(x) = 3x + 3 (Funktion gleich Null setzen!)
0 = 3x + 3 |-3 (Mithilfe von Äquivalenzumformungen nach x auflösen)
-3 = 3x |:3
-1 = x
Die Nullstelle liegt also bei x = -1, der Graph schneidet also die x-Achse im Punkt N(-1/0).

Nullstellen quadratischer Funktionen

Quadratische Funktionen können zwei, eine oder keine Nullstellen haben. Das ist abhängig von der Lage des Graphen.

• Ist der Graph nach oben (bzw. nach unten) geöffnet und liegt der Scheitelpunkt oberhalb (bzw. unterhalb) der x-Achse, so hat die Funktion keine Nullstelle.
• Ist der Graph nach oben (bzw. nach unten) geöffnet und liegt der Scheitelpunkt unterhalb (bzw. oberhalbt) der x-Achse, so hat die Funktion zwei Nullstellen.
• Liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse, so gibt es genau eine Nullstelle und zwar den Scheitelpunkt.

Um die Nullstellen quadratischen Funktionen zu berechnen, setzt man auch wieder die Funktionsgleichung gleich Null und löst nach x auf.

Dies geht bei Gleichungen der Form f(x) = ax² + bx + c am besten mit der pq-Formel.

Beispiel:
f(x) = 2x²+4x-6
0 = 2x²+4x-6 |:2
Achtung: Damit die p-q-Formel angewendet werden kann, muss erst der Faktor vor dem x² "entfernt" werden!
0 = x²+2x-3 | p=2 und q=-3


$x_1=- \frac{p}{2}+sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$
und
$x_2=- \frac{p}{2}-sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

x₁ = -1+2 = 1
x₂ = -1-2 = -3
Nullstellen: N₁(1/0) und N₂(-3/0)

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Liegt die Funktionsgleichung als Scheitelpunktform vor, kann man wie folgt vorgehen:
f(x) = (x+3)²-16
0 = (x+3)²-16 |+16
16 = (x+3)² | Wurzel ziehen
4 = x+3 und -4 = x+3 |-3
1 = x und -7 = x
Nullstellen: N₁ (1/0) und N₂ (-7/0)